1-5 前缀和与差分

2024-06-02

5 前缀和与差分

5.1 一维区间和

输入一个长度为 n 的整数序列。接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。对于每个询问，输出原序列中从第 l个数到第 r个数的和。
输入格式
- 第一行包含两个整数 n和 m。
- 第二行包含 n个整数，表示整数数列。
- 接下来 m行，每行包含两个整数 l和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式：共 m行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
- 1≤l≤r≤n
- 1≤n,m≤100000
- −1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
1
2
3
4
5
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
1
2
3
3
6
10

5.1.1 模板

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=100000;
int a[N]={0},s[N]={0};

int main(){
    int n,m;
    //ios::sync_with_stdio(false); //可以加快cin，但还是没有scanf快
    scanf("%d%d",&n,&m); //输入规模比较大时使用scanf更快
    for(int i=1; i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i] = s[i-1] + a[i]; //前缀和初始化
    
    while(m--){
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",s[r]-s[l-1]); //计算区间和
    }
    
    return 0;
}

5.2 二维区间和

输入一个 n行 m列的整数矩阵，再输入 q个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
- 第一行包含三个整数 n，m，q。
- 接下来 n行，每行包含 m个整数，表示整数矩阵。
- 接下来 q行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。
输出格式：共 q行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
- 1≤n,m≤1000,
- 1≤q≤200000,
- 1≤x1≤x2≤n,
- 1≤y1≤y2≤m,
- −1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

输出样例：
1
2
3
17
27
21

5.2.1 思想

画矩形分块：
- $S_{x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2}} = S_{x_{2} y_{2}} - S_{x_{2} (y_{1} - 1)} - S_{(x_{1} - 1) y_{2}} + S_{(x_{1} - 1) (y_{1} - 1)}$
- $S_{i j} = S_{(i - 1) j} + S_{i (j - 1)} - S_{(i - 1) (j - 1)} + a_{i j}$

5.2.2 模板

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=1001;
int s[N][N];

int main(){
    int m,n,q,x,y;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                scanf("%d",&s[i][j]);
                //+=省去了a[i][j]
                s[i][j] += s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
            }
            
    while(q--){
        scanf("%d%d%d%d",&m,&n,&x,&y);
        cout<<s[x][y]-s[x][n-1]-s[m-1][y]+s[m-1][n-1]<<endl;
    }
    return 0;
}

5.3 差分

已知：
- $a_{1}, a_{2} \dots, a_{n}$
求：
- $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$
- 要求： $b_{i} = a_{i} - a_{i - 1}$
$a$ 是 $b$ 的前缀和
差分的作用：假设你需要将从 $a_{m}$ 到 $a_{n}$ 之间的数全都加上一个常熟C，在 $a$ 上操作需要 $O (n)$ ；而在 $b$ 上操作只需要将 $b_{m} + C$ 和 $b_{n - 1} - C$ 就可以了，这样只需要 $O (1)$

5.3.1 题目

输入一个长度为 n的整数序列。接下来输入 m个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r][𝑙,𝑟] 之间的每个数加上 c。请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
- 第一行包含两个整数 n 和 m。
- 第二行包含 n个整数，表示整数序列。
- 接下来 m行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含 n个整数，表示最终序列。
数据范围
- 1≤n,m≤100000,
- 1≤l≤r≤n,
- −1000≤c≤1000,
- −1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
1
2
3
4
5
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
1
3 4 5 3 4 2

5.3.2 思想

根据a构建b：

1
2
3

//假设b是a的差分
b[i] += a[i] //b[i]加一次相当于把后面所有a都加了偏移
b[i+1] -= a[i] //将后面的偏移全部减掉，a不变，假设依然成立

5.3.3 模板

#include<iostream>
using namespace std;

const int N= 100010;
int a[N],b[N];

void insert(int l, int r, int c){
    b[l]+=c;
    b[r+1]-=c;
}

int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    //a
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    
    //b
    for(int i=1;i<=n;i++) insert(i,i,a[i]);
    
    while(m--){
        int l,r,c;
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
        insert(l,r,c);
    }
    
    //b->a
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]+=b[i-1];
    
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",b[i]);
    
    return 0;
}

5.4 差分矩阵

输入一个 n行 m列的整数矩阵，再输入 q个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1)和 (x2,y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
- 第一行包含整数 n,m,q。
- 接下来 n行，每行包含 m个整数，表示整数矩阵。
- 接下来 q行，每行包含 5个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。
输出格式
共 n行，每行 m个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
- 1≤n,m≤1000,
- 1≤q≤100000, 1≤x1≤x2≤n,
- 1≤y1≤y2≤m,
- −1000≤c≤1000,
- −1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

输出样例：
1
2
3
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

5.4.1 思想

令b=0，画出矩阵区域得到计算一个 $b_{i j}$ 的方法：

$b_{x_{1} y_{1}} + = c$

$b_{(x_{2} + 1) y_{1}} - = c$

$b_{x_{1} (y_{2} + 1)} - = c$

$b_{(x_{2} + 1) (y_{2} + 1)} + = c$

5.4.2 模板

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c){
    b[x1][y1] += c;
    b[x2+1][y1] -= c;
    b[x1][y2+1] -= c;
    b[x2+1][y2+1] += c;
}

int main(){
    int n,m,q;
    cin>>n>>m>>q;
    //a
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
            
    //b
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            insert(i,j,i,j,a[i][j]);
            
    while(q--){
        int x1,y1,x2,y2,c;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
        //对b操作
        insert(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    
    //b->a
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cout<<(b[i][j] += b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1])<<' '; 
        cout<<'\n';
    }

            
    return 0;
}