3DGS_雪球颜色

2025-09-02

之前已经算了雪球有多大有多重，但是雪球还需要颜色

0. 基本概念

任何一个函数可以分解为正弦与余弦的线性组合：
- $f (x) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n} c o s \frac{n π}{l} x + b_{n} s i n \frac{n π}{l} x$
- $c o s \frac{n π}{l} x$ 和 $s i n \frac{n π}{l} x$ 是基函数

任何一个球面坐标的函数可以用多个球谐函数来近似：
- 什么叫“球面坐标的函数”：这里任意的一个点相当于三维的极坐标下，固定r，只有 $θ$ 和 $ϕ$ 可以变化，所以这里球谐函数就会跟这个点的方向有关系。比如我有一个球，他在不同的方向上反射的光可能是不一样的。这样就把颜色和观测角度建立了联系，颜色就不会单一了。
- $f (t) \approx \sum_{l} \sum_{m = - l}^{l} c_{l}^{m} y_{l}^{m} (θ, ϕ)$
- 其中， $c_{l}^{m}$ 各项系数， $y_{l}^{m}$ 是基函数

\begin{aligned} f (t) \approx & \sum_{l} \sum_{m = - l}^{l} c_{l}^{m} y_{l}^{m} (θ, ϕ) \\ = & c_{0}^{0} y_{0}^{0} + \\ c_{1}^{- 1} y_{1}^{- 1} + c_{1}^{0} y_{1}^{0} + c_{1}^{1} y_{1}^{1} + \\ c_{2}^{- 2} y_{2}^{- 2} + c_{2}^{- 1} + y_{2}^{- 1} + c_{2}^{0} y_{2}^{0} + c_{2}^{1} y_{2}^{1} + c_{2}^{2} y_{2}^{2} + \\ . . . \end{aligned}

这里 $l$ 是指0阶，1阶，2阶...，我们这里用的是3阶
$y_{l}^{m} (θ, φ) = {\begin{aligned} \sqrt{2} K_{l}^{m} c o s (m φ) P_{l}^{m} (c o s θ) & , m > 0 \\ \sqrt{2} K_{l}^{m} s i n (- m φ) P_{l}^{- m} (c o s θ) & , m < 0 \\ K_{l}^{0} P_{l}^{0} (c o s θ) & , m = 0 \end{aligned}$
- $\begin{aligned} P_{n} (x) = \frac{1}{2^{n} \cdot n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} [(x^{2} - 1)^{n}] \\ P_{l}^{m} = (- 1)^{m} (1 - x^{2})^{\frac{m}{2}} \frac{d^{m}}{d x^{m}} (P_{l} (x)) \\ K_{l}^{m} = \sqrt{\frac{(2 l + 1) (l - | m |)!}{4 π (l + | m |)!}} \end{aligned}$
- $\begin{aligned} y_{0}^{0} = \sqrt{\frac{1}{4 π}} = 0.28 \\ y_{1}^{- 1} = - \sqrt{\frac{3}{4 π}} \frac{y}{r} = - 0.49 * \frac{y}{r} \\ y_{1}^{0} = \sqrt{\frac{3}{4 π}} \frac{z}{r} = 0.49 * \frac{z}{r} \\ y_{1}^{1} = - \sqrt{\frac{3}{4 π}} \frac{x}{r} = - 0.49 * \frac{x}{r} \end{aligned}$
对于球谐函数， $y_{l}^{m}$ 都是已知的常数，只有系数c是未知的。
表示颜色需要RGB三个数，因此每个系数c都是三维向量。
一共1+3+5+7=16个c，也就是说所有的c可以写成一个[16,3]的矩阵。

直觉上，我们就用RGB[1,3]的矩阵表达颜色，现在换成[16,3]的矩阵，肯定表达的更好。
在CG上，有个东西叫做环境贴图，它表达了环境里光的存在，经常会用到球形的环境贴图。
如下图的水壶感觉看起来特别有立体性，且表面很光亮，因为壶体有反光。而这个反光我们就是用一个图来表达他的光学性（左侧），通过把这个光贴到壶的面上，我们就感觉这个面很光滑。为什么呢？因为我们知道在现实生活中一个金属越光滑，他的反射就会越强，镜面反射越多。那么假设一个球是绝对光滑的，他就把环境中每一个亮光的地方都反射出来了，他就记录了整个环境中的光。
一个球记录了环境光，然后把球的每个面可以映射到矩形上，再展开就可以得到一个展示环境光的环境贴图。在渲染中我们常用球谐函数来重建光，如果分别使用1阶到6阶还原的效果会越好，如下图（右）当1阶的时候，只有一个颜色，也就是RGB，他不跟方向相关，随着阶数的增加，信息越来越多。